[易错题汇编]（三）三角篇

一、三角函数的图象与性质相关问题

（1）要得到函数$y=\sqrt 2\cos x$的图象，只需要将函数$y=\sqrt 2\sin\left(2x+\dfrac {\pi}{4}\right )$的图象上所有的点的（　　）

A．横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位

B．横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位

C．横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位

D．横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位

（2）函数$y=\sin^4 x-\cos^4 x$的周期为_____，函数$y=\sin^4 x+\cos^4 x$的周期为_____；

（3）函数$y=2\sin\left(\dfrac {\pi}{6}-2x\right )(x\in[0,\pi])$的增区间为______；

（4）函数$y=\sin x\left(1+\tan x\cdot \tan\dfrac x2\right )$的最小正周期为_____．

答案　（1）C；

（2）$\pi,\dfrac {\pi}{2}$；

（3）$\left[\dfrac {\pi}{3},\dfrac {5\pi}{6}\right ]$；

（4）$2\pi$．

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二、范围相关的问题

（1）已知$\theta \in(0,\pi)$，$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac {17}{25}$，则$\tan\theta=$____；

（2）已知$\tan \alpha,\tan\beta$是方程$x^2+3\sqrt 3 x+4=0$的两根，若$\alpha,\beta\in\left(-\dfrac {\pi}{2},\dfrac {\pi}{2}\right )$，则$\alpha+\beta=$_____；

（3）若$2\sin^2\alpha+\sin^2\beta=3\sin\alpha$，则$\sin^2\alpha+\sin^2\beta$的取值范围是_____；若$3\sin^2\alpha+2\sin^2\beta=2\sin\alpha$，则$\cos^2\alpha+\cos^2\beta$的最小值为_____．

答案　（1）$-\dfrac {24}{7}$；

（2）$-\dfrac {2\pi}{3}$；

（3）$\left[0,\dfrac 54\right ]\cup\{2\}$，$\dfrac {14}{9}$．

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三、在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，完成以下问题：

（1）若$a=2$，$b=\sqrt 2$，$A=\dfrac {\pi}{4}$，则$B=$_____．

（2）已知$\sin A=\dfrac 35$，$\cos B=\dfrac {5}{13}$，则$\cos C=$_____；

（3）如果$\triangle ABC$是锐角三角形，且$B=2A$，则$\dfrac ba$的取值范围是_____；

答案　（1）$\dfrac {\pi}{6}$；

（2）$\dfrac {16}{65}$；

（3）$(\sqrt 2,\sqrt 3)$．