[易错题汇编]（一）集合逻辑篇

一、集合填空题：

（1）已知集合$A = \left\{ {x \left|\right.- 2 \leqslant x \leqslant 7} \right\}$，$B = \left\{ {x\left|\right.m + 1 < x < 2m-1} \right\}$ ，若$A \cup B = A$，则实数$m$的取值范围是 ____；

（2）已知集合$A = \left\{ {x \left|\right. {x^2} +px + 1 = 0 , p \in {\mathcal{R}}} \right\}$，若$A \cap {{\mathcal{R}}_ + } = \varnothing$，则$p$的取值范围是 ____．

（3）设$A = \left\{ {x \left|\right.{x^2} -3x +2= 0} \right\}$，$B = \left\{ {x \left|\right.ax+1=0} \right\}$，若$A \cap B = B$，则实数$a$组成的集合的真子集个数是 ____．

答案　（1）$\left({-\infty,4} \right]$ ；（2）$\left({-2,+ \infty } \right)$；（3）$7$．

二、已知二次函数$f\left(x \right)= a{x^2} + bx + c$的两根$x_1,x_2$均大于$3$ ，下列条件中，是该题设的充分必要条件的有_____．

① $\begin{cases} a\ne 0,\\{x_1} + {x_2} > 6 ,\\ {x_1} \cdot {x_2} > 9. \\ \end{cases}$  

② $\begin{cases} a\ne 0,\\{x_1} + {x_2} > 6 ,\\ {x_1} \cdot {x_2} > 9, \\ \Delta \geqslant 0. \\ \end{cases}$

③ $\begin{cases} a\ne 0,\\\left({{x_1}-3} \right)+ \left({{x_2}-3} \right)> 0, \\ \left({{x_1}-3} \right)\cdot \left({{x_2}-3} \right)> 0, \\ \Delta \geqslant 0. \\ \end{cases}$

④ $\begin{cases} af\left(3 \right)> 0, \\ - \dfrac{b}{2a} > 3, \\ \Delta \geqslant 0 .\\ \end{cases}$ 

答案　③④．

三、用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

（1）$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 为非零向量，“  $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b$”是“函数$f\left( x \right) = \left( {x\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\cdot \left( {x\overrightarrow b-\overrightarrow a } \right)$  为一次函数”的 ____条件．

（2）$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$为非零向量，“  $\overrightarrow a$ ， $\overrightarrow b$的夹角为钝角”是“$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b < 0$”的 ____条件．

（3）“$x = \sqrt {ab}$ ”是“$a$，$x$ ，$b$”成等比数列的 ____条件．

（4）“$- 4 < k < 0$”是“$\forall x \in {\mathcal{R}}$，$k{x^2}-kx-1 < 0$”的 ____ 条件．

（5）“数列$\left\{ {a_n} \right\}$是等比数列”是“数列$\left\{ {{a_{2n-1}} + {a_{2n}}} \right\}$是等比数列”的 ____条件．

答案　（1）必要不充分；

（2）充分不必要；

（3）既不充分也不必要；

（4）充分不必要；

（5）既不充分也不必要．