每日一题[19] 解三角形试题的一题两解

平面向量、三角和复数是代数与几何在高中数学中融合最为紧密的部分,在这些部分中一题多解也是最为常见的.今天就给大家带来一道自主招生训练题,一起来感受一下.

cover如图,P为三角形ABC内部一点,且满足BAP=CAP=CBP=ACP,求证:BC2=ACAB

QQ20150206-1


法一    三角方法

根据燕尾定理,我们有BPC=A+B,CPA=B+C,APB=C+A.

于是,在三角形BPC中,由正弦定理有BCsinBPC=PCsinCBP,在三角形PAC中,由正弦定理有ACsinCPA=PCsinCAP,而根据已知条件有CBP=CAP,因此BCsinBPC=ACsinCPA,BCsin(A+B)=ACsin(B+C),也即BCsinC=ACsinA.同时,在三角形ABC中,由正弦定理有ABsinC=BCsinA,两式相比,整理即得BC2=ACAB.


法二    几何方法

不妨设ABP>CBP(如果相等,那么P为三角形ABC的内心,继而ABC为正三角形,命题显然成立).

在边AC上取一点Q,使得QBP=PBC,连接PQ

QQ20150206-2

\therefore A,B,P,Q四点共圆

\therefore\angle PQC=\angle PBA

PC=PA\angle PCQ=\angle PAB

\therefore\triangle PCQ\cong\triangle PAB

\therefore CQ=AB

\triangle CBQ\sim\triangle CAB

\therefore CB^2=CQ\cdot CA

于是BC^2=AB\cdot CA,命题得证.


这次还给大家带来了两道练习题哦,可以从三角和几何两个不同的角度思考.

第一题    如图,\angle ABC=\angle ADC=90^\circ\angle BAD=60^\circBC=2CD=2,求AC

QQ20150206-3

第二题    如图,在等腰三角形ABC中,已知A=100^\circB的平分线交ACD,求证:AD+DB=BC

QQ20150206-4

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[19] 解三角形试题的一题两解》有一条回应

  1. Avatar photo pang说:

    法一中的一个 sin∠(B+C) 打成了 ∠(B+C) 。好吧这不是什么严重的错误。

发表回复