平面向量、三角和复数是代数与几何在高中数学中融合最为紧密的部分,在这些部分中一题多解也是最为常见的.今天就给大家带来一道自主招生训练题,一起来感受一下.
如图,P为三角形ABC内部一点,且满足∠BAP=∠CAP=∠CBP=∠ACP,求证:BC2=AC⋅AB.
法一 三角方法
根据燕尾定理,我们有∠BPC=A+B,∠CPA=B+C,∠APB=C+A.
于是,在三角形BPC中,由正弦定理有BCsin∠BPC=PCsin∠CBP,在三角形PAC中,由正弦定理有ACsin∠CPA=PCsin∠CAP,而根据已知条件有∠CBP=∠CAP,因此BCsin∠BPC=ACsin∠CPA,即BCsin(A+B)=ACsin(B+C),也即BCsinC=ACsinA.同时,在三角形ABC中,由正弦定理有ABsinC=BCsinA,两式相比,整理即得BC2=AC⋅AB.
法二 几何方法
不妨设∠ABP>∠CBP(如果相等,那么P为三角形ABC的内心,继而ABC为正三角形,命题显然成立).
在边AC上取一点Q,使得∠QBP=∠PBC,连接PQ.
∵
\therefore A,B,P,Q四点共圆
\therefore\angle PQC=\angle PBA
又PC=PA,\angle PCQ=\angle PAB
\therefore\triangle PCQ\cong\triangle PAB
\therefore CQ=AB
又\triangle CBQ\sim\triangle CAB
\therefore CB^2=CQ\cdot CA
于是BC^2=AB\cdot CA,命题得证.
这次还给大家带来了两道练习题哦,可以从三角和几何两个不同的角度思考.
第一题 如图,\angle ABC=\angle ADC=90^\circ,\angle BAD=60^\circ,BC=2CD=2,求AC.
第二题 如图,在等腰三角形ABC中,已知A=100^\circ,B的平分线交AC于D,求证:AD+DB=BC.
法一中的一个 sin∠(B+C) 打成了 ∠(B+C) 。好吧这不是什么严重的错误。