本题是2015年北京市东城区高二期末考试的选择最后一题改成的填空题．题干简洁干净，考察点也同样清晰明朗；难度方面，思路入口宽，但想要真正解出并不容易．总的来说就是小巧的试题，深厚的背景，是道难得的好题．
点\(P\)到点\(A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)\)及到直线\(x=-\dfrac 12\)的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么\(a\)的值是________．
正确答案是\(\pm\dfrac 12\)．
注意到\(P\)点在以\(A\)为焦点，直线\(x=-\dfrac 12\)为准线的抛物线\(E:y^2=2x\)上．因此可设\(P\left(2t^2,2t\right)\)，于是由\(P\)到焦点\(A\)与到点\(B\)的距离相等，得\[2t^2+\dfrac 12=\sqrt{(2t^2-a)^2+(2t-2)^2},\]整理得\[(2-4a)t^2-8t+a^2+\dfrac{15}4=0.\]该方程的解集有且只有一个元素，因此\[2-4a=0\lor\begin{cases}2-4a\neq 0\\\Delta=0,\end{cases}\]即\[a=\dfrac 12\lor a=-\dfrac 12.\]
这一解法思路简单，也有可行性，但其中涉及到解一个三次方程，运算量不低．另外，解法平淡无奇，没有美感．有没有漂亮的解法呢？
我们知道，解析几何是几何的一个分支，因此解析几何试题应当从几何的层面找寻本源．\(P\)到\(A\)与\(P\)到\(B\)的距离相等，于是问题可以转化为线段\(AB\)的垂直平分线\(l\)与抛物线只有一个公共点，这包含两种情形．
第一种情形，\(l\)与抛物线的对称轴平行．此时\[l:y=1,\]于是\[a=\dfrac 12.\]
第二种情形，\(l\)与抛物线相切．如图，过\(P\)作射线\(PM\parallel x\)轴．根据抛物线的几何性质，\(\angle 1=\angle 3\)，因此\(\angle 1=\angle 2=\angle 3\)，于是\(PB\parallel x\)轴．因此\(P\)点坐标为\((2,2)\)，进而\[PB=PA=2+\dfrac 12,\]解得\[a=-\dfrac 12.\]
综合以上两种情形，我们就得到了答案．