每日一题[11] 外心的向量表达

用给定基底或者根据具体情形选定基底后对图形中未知向量的分解，是解决向量问题或利用向量解决平面几何问题的重要核心步骤．在对平面向量的分解过程中，平面图形的性质得以代数化，从而可以通过函数、不等式等代数方法进行研究．与此同时，分解的系数也具有鲜明的几何意义，结合这些几何意义往往又可以简化问题．在学习平面向量时，体会这种代数与几何条件的互相对应与转化，对提高数形结合能力大有裨益．下面就通过一道经典的平面向量试题例说这一点．

已知$O$为$\triangle ABC$的外心，$\cos A=\dfrac{1}{3}$，若$\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$，则$\alpha + \beta$的最大值为________．

法一（利用向量分解的几何意义）

记$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$，考虑到问题所求与三角形的大小无关，不妨设$a = 1$．

如图，此时$\triangle ABC$的外接圆固定，即$B$、$C$、$O$为定点，$A$在优弧$BC$上运动．

延长$AO$交$BC$于$D$，设$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AD}$，则 $$\overrightarrow{AD}=\dfrac{\alpha}{\lambda}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\beta}{\lambda}\overrightarrow{AC}.$$

因为$D$在$BC$上，因此$\dfrac{\alpha}{\lambda}+\dfrac{\beta}{\lambda}=1$，即$\lambda=\alpha+\beta$．

于是问题即求$\lambda$的最大值，考虑到 $$\lambda=\dfrac{{\left|{AO}\right|}}{{\left| {AD}\right|}}=\dfrac{{\left|{AO}\right|}}{{\left|{AO}\right|+\left|{OD}\right|}},$$ 而$\left|{AO}\right|$为定值，因此当$\left|{OD}\right|$取最小值，也即$AD\perp BC$的时候$\lambda$取得最大值．此时

$$\left|{AO}\right|=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{{\sin A}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{{\dfrac{{\sqrt 8}}{3}}}=\dfrac{{3\sqrt 2}}{8}\qquad\cdots (1)$$

而$\left|{AB}\right|=\left|{AC}\right|$，$\triangle ABC$为等腰三角形，因此由二倍角公式可得$\cos\angle BAD=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$．因此

$$\left|{AD}\right|=\dfrac{{\left|{BD}\right|}}{{\tan\angle BAD}}=\dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}}=\dfrac{{\sqrt 2}}{2}\qquad\cdots(2)$$

因此

$$\lambda=\dfrac{{\left|{AO}\right|}}{{\left|{AD}\right|}}=\dfrac{{\dfrac{{3\sqrt 2 }}{8}}}{{\dfrac{{\sqrt 2}}{2}}}=\dfrac{3}{4}.$$

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法二（利用共圆向量的数量积表达）

根据题意，有

$$\cos\angle BOC=\cos 2A=2{\cos ^2}A-1=- \dfrac{7}{9},$$

由已知

$$-\overrightarrow{OA}=\alpha\left({\overrightarrow {OB}-\overrightarrow{OA}}\right)+\beta\left({\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}\right),$$

于是$\left({\alpha+\beta-1}\right)\overrightarrow{OA}=\alpha\overrightarrow{OB}+\beta\overrightarrow{OC}$．

因此

$${\left({\alpha+\beta-1}\right)^2}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}={\alpha ^2}\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OB}+2\alpha\beta\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+{\beta^2}\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}.$$

即

$${\left({\alpha+\beta-1}\right)^2}={\alpha^2}-\dfrac{{14}}{9}\alpha\beta+{\beta^2},$$

整理得

$$\dfrac{{32}}{9}\alpha\beta=2\left({\alpha+\beta}\right)-1.$$

又$\alpha\beta\leqslant{\left({\dfrac{{\alpha+\beta}}{2}}\right)^2}$，于是

$$\dfrac{9}{{32}}\left[{2\left({\alpha+\beta}\right)-1}\right]\leqslant{\left( {\dfrac{{\alpha+\beta}}{2}}\right)^2},$$

从而解得$\alpha+\beta\geqslant\dfrac{3}{2}$（舍去，因为$\alpha,\beta<\dfrac{1}{2}$）或$\alpha+\beta\leqslant\dfrac{3}{4}$．

而当$\alpha=\beta=\dfrac{3}{8}$时等号成立，因此所求最大值为$\dfrac{3}{4}$．

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法三（利用外心的向量表达）

不妨设$\left|{AB}\right|=1$，$\left|{AC}\right|=t$，则由

$$\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC},$$

有

$$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\alpha\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}.$$

于是$\dfrac{1}{2}=\alpha+\dfrac{1}{3}t\beta\qquad\cdots (1)$（注意由数量积的定义推导$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}$）

类似的，若两边对$\overrightarrow{AC}$作数量积，则有

$$\dfrac{1}{2}{t^2}=\dfrac{1}{3}t\alpha+\beta{t^2},$$

即

$$\dfrac{1}{2}t=\dfrac{1}{3}\alpha+\beta t\qquad\cdots (2)$$

由(1)(2)，得

$$t=\dfrac{{\dfrac{1}{2}-\alpha}}{{\dfrac{1}{3}\beta }}=\dfrac{{\dfrac{1}{3}\alpha }}{{\dfrac{1}{2}-\beta }},$$

从而

$$\left({\dfrac{1}{2}-\alpha}\right)\left({\dfrac{1}{2}-\beta}\right)=\dfrac{1}{9}\alpha\beta ,$$

整理得

$$\dfrac{{32}}{9}\alpha\beta=2\left({\alpha+\beta}\right)- 1.$$

以下同法二．

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法四（此题的背景）

我们知道，若$O$为$\triangle ABC$内一点，则

$${S_{\triangle OBC}}\overrightarrow{OA}+{S_{\triangle OAC}}\overrightarrow{OB}+{S_{\triangle OAB}}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,$$

特别的，若$O$为$\triangle ABC$的外心，那么就有

$$\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0.$$

换成以$A$为起点的，有

$$\sin 2A\overrightarrow{AO}=\sin 2B\left({\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}} \right)+\sin 2C\left({\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}}\right),$$

即

$$\overrightarrow{AO}=\dfrac{{\sin 2B}}{{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}}\overrightarrow{AB}+\dfrac{{\sin 2C}}{{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}}\overrightarrow{AC}.$$

于是

$$\alpha+\beta=\dfrac{{\sin 2B+\sin 2C}}{{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}}=\dfrac{1}{{\dfrac{{\sin 2A}}{{\sin 2B+\sin 2C}}+1}}.$$

注意到$\cos A=\dfrac{1}{3}$，于是$\sin 2A$为定值，于是当$\sin 2B+\sin 2C$取得最大值时$\alpha+\beta$最大．

而

$$\sin 2B+\sin 2C\leqslant 2\sin\left({\dfrac{{2B+2C}}{2}}\right)=2\sin A.$$

因此$\alpha+\beta$的最大值为

$$\dfrac{1}{{\dfrac{{\sin 2A}}{{2\sin A}}+1}}=\dfrac{1}{{\cos A+1}}=\dfrac{3}{4}.$$