如图，已知\(\triangle ABC\)是等边三角形，\(\triangle BDE\)是等腰三角形，且\(BD=DE\)，\(\angle BDE=120^\circ\)，取\(AE\)的中点\(F\)，连接\(DF,CF\)．求证：\(CF\perp DF\)，且\(CF=\sqrt 3 DF\)．
分析 结合问题我们把结论转化成证明\(\triangle DCQ\)为等边三角形或者证明\(\triangle DCP\)为顶角是\(120^\circ\)的等腰三角形．
证明 如图，倍长\(DF\)到\(Q\)，使\(FQ=DF\)，则四边形\(ADEQ\)是平行四边形．
所以\[AQ=DE=BD,DE\parallel AQ.\]
所以\[\angle AGB=\angle GDE=\angle ACB=60^\circ.\]所以\[\angle QAC=\angle DBC.\]
所以\[\triangle BDC\cong \triangle AQC. \]故\(\triangle QCD\)为等边三角形，得证．
此题倍长中线容易想到，证明三角形全等时夹角相等的证明是难点．其实就是一个“8”字，需要将要证等角的两边延长相交，借助平行线性质来解决．
下面我们给出一道练习
（2015 福建莆田几何压轴题）在\(\mathrm{Rt}\triangle ACB\)和\(\mathrm{Rt}\triangle AEF\)中，\(\angle ACB=\angle AEF=90^\circ\)，将\(\triangle AEF\)绕着点\(A\)顺时针旋转，当点\(F\)落在边\(AB\)上时，若点\(P\)是\(BF\)的中点，连接\(PC,PE\)，试说明\(PC,PE\)的数量关系．
提示