抛物线的一则常用性质

抛物线有一条非常简单优美的性质，设直线$l$与抛物线$y^2=2px$相交，则其横截距是两交点横坐标的等比中项．如图，有$x_0^2=x_1x_2$．

同学们可以拿这三道题目练练手：

• 2014年北京丰台区高三期末考试

  已知抛物线$C:y^2=2px(p>0)$的焦点为$F(1,0)$，点$O$为坐标原点，$A$，$B$是曲线$C$上异于$O$的两点．
  （1）求曲线$C$的方程；
  （2）若直线$OA$，$OB$的斜率之积为$-\frac 12$，求证：直线$AB$过定点．

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• 2013年北京海淀区高三期末考试

  已知$E(2,2)$是抛物线$C:y^2=2px$上一点，经过点$2,0$的直线$l$与抛物线$C$交于$A$，$B$两点（不同于点$E$），直线$EA$，$EB$分别交直线$x=-2$于点$M$，$N$．
  （1）求抛物线方程及其焦点坐标；
  （2）已知$O$为原点，求证：$\angle MON$为定值．

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• 2013年北京西城区高三期末考试

  已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，过点$P(2,0)$的直线交抛物线于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，直线$AF$，$BF$分别与抛物线交于点$M$，$N$．
  （1）求$y_1y_2$的值；
  （2）记直线$MN$的斜率为$k_1$，直线$AB$的斜率为$k_2$，证明：$\dfrac {k_1}{k_2}$为定值．