每日一题[213] 滑动的抛物线

题目选自高中数学吧来几个题目先290楼：

已知函数$f_t(x)=(x-t)^2-t$，$t\in\mathcal R$，设$a<b$，$f(x)=\begin{cases}f_a(x),&f_a(x)<f_b(x),\\f_b(x),&f_a(x)\geqslant f_b(x).\end{cases}$若函数$y=f(x)+x+a-b$有四个零点，则$b-a$的取值范围是_______．

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正确答案是$\left(2+\sqrt 5,+\infty\right)$．

如图，$f_t(x)$的图象是形状恒定，顶点在直线$y=-x$上运动的抛物线．于是当$a,b$取不同值时对应的函数$f(x)$的图象如图．函数$y=f(x)+x+a-b$的零点可以视为直线$y=-x+b-a$与抛物线$y=f(x)$的交点横坐标．于是只需要两条抛物线的“交叉点”到直线$y=-x+b-a$的竖直距离大于$b-a$．

由方程

$$(x-a)^2-a=(x-b)^2-b$$ 解得交叉点横坐标为 $$x=\dfrac {a+b-1}{2},$$ 于是竖直距离为 $$\left(\dfrac{b-a-1}{2}\right)^2+\dfrac{b-a-1}{2},$$ 进而通过解不等式 $$\left(\dfrac{b-a-1}{2}\right)^2+\dfrac{b-a-1}{2}>b-a$$ 得 $$b-a>2+\sqrt 5.$$