每日一题[199] 一一对应

2014年全国高中数学联赛吉林省预赛第5题：

若五项的数列$\{a_n\}:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$满足$0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$且对任意的$i,j$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5$，均有$a_j-a_i$在该数列中．以下四个命题正确的有_______．

① $a_1=0$；

② $a_5=4a_2$；

③ $\{a_n\}$为等差数列；

④ 集合$A=\left\{a_i+a_j\left|1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\right.\right\}$含$9$个元素．

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正确答案是①②③④．

 根据已知有

$$0\leqslant a_5-a_5<a_5-a_4<a_5-a_3<a_5-a_2<a_5-a_1,$$ 而这五个数也在数列中，于是可得 $$a_1=0,a_2+a_4=2a_3=a_5,$$ 进而 $$a_3-a_2=a_2,$$ 于是数列$\{a_n\}$中的数分别为 $$0,a_2,2a_2,3a_2,4a_2.$$ 不难据此推得命题①②③④均正确．