每日一题[179] 分离变量

2011年高考重庆卷理科数学第10题（选择压轴题）：

设$m,k$为整数，方程$mx^2-kx+2=0$在区间$(0,1)$内有两个不同的根，则$m+k$的最小值为（        ）

A．$-8$

B．$8$

C．$12$

D．$13$

---

正确答案为D．

容易得到$m,k$均为正整数．

分离变量，有$k=mx+\dfrac 2x$，于是问题转化为直线$y=k$与对勾函数$y=mx+\dfrac 2x$的图象的两个交点的横坐标均在区间$(0,1)$上，于是

$$2\sqrt{2m}<k<m+2,$$ 注意到$m+2$为整数，于是在区间$\left(2\sqrt{2m},m+2\right)$上存在整数$k$的充要条件为 $$m+2-2\sqrt{2m}>1,$$ 解得 $$m>3+2\sqrt 2,$$ 于是$m$的最小值为$6$，而$k$的最小值为$7$．