2026年9月浙江杭州二中开学考数学试题#19
已知整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=0$，且对于任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\left|a_{n+1}-A_n\right|\leqslant 2$，其中 $A_n$ 为 $\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$ 的平均数．
1、求 $a_2$ 的所有可能取值；
2、若正整数 $n,k$ 满足 $A_n<k$，证明：$A_{n+1}\leqslant k$； 在所有满足要求的数列中，求 $a_{2026}$ 的最大值．
解析
1、根据题意，有 $A_1=0$，于是 $|a_2-A_1|\leqslant 2$，可得 $a_2$ 的所有可能取值为 $-2,-1,0,1,2$．
2、根据题意，有\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}<k\implies a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant nk-1\implies A_n\leqslant k-\frac 1n,\]又\[|a_{n+1}-A_n|\leqslant 2\implies a_{n+1}\leqslant A_n+2\implies a_{n+1}\leqslant k+1,\]因此\[A_{n+1}=\frac{nA_n+a_{n+1}}{n+1}\leqslant \frac{n\left(k-\frac 1n\right)+(k+1)}{n+1}=k,\]命题得证．
3、由第 $(2)$ 小题的结论可得 $\{A_n\}$ 的增长不能跨过整数（即必须在整数处停留），也就是当 $A_s=m$ 时，若 $A_t=m+1$，则当 $s+1\leqslant k\leqslant t$ 时，均有\[a_k\leqslant m+2,\]于是\[ms+(m+2)(t-s)\geqslant (m+1)t\implies t\geqslant 2s,\]也就是 $\{A_n\}$ 提升 $1$，项数需要翻倍，接下来证明
引理 当 $2^r\leqslant n<2^{r+1}$（$r\in\mathbb N$）时，有 $A_n<r+1$．
引理的证明 对 $r$ 进行归纳，当 $r=0$ 时，命题即当 $n=1$ 时，$A_n<1$，满足引理． 若命题对 $r$ 成立，即当 $2^r\leqslant n<2^{r+1}$ 时，有 $A_n<r+1$，只需要证明当 $n<2^{r+2}$ 时，有 $A_n<r+2$，设 $A_p=r+2$，且 $A_q=r+1$，则\[p\geqslant 2q\geqslant 2\cdot 2^{r+1}\implies p\geqslant 2^{r+2},\]命题得证．
构造 接下来构造数列 $\{a_n\}$，满足 $A_{2^r}=r$，只需要当 $2^r\leqslant n<2^{r+1} $（$r\in\mathbb N$）时，取 $ a_n=r+2$ 即可．
回到原题 一方面，在引理中取 $r=10$，有\[a_{2026}\leqslant A_{2025}+2<11+2=13,\]另一方面，在构造的数列中，有 $a_{2026}=12$，因此 $a_{2026}$ 的最大值为 $12$．