2026年9月浙江杭州二中开学考数学试题#14
对于集合 $U=\{1,2,3,4,\cdots,n\}$ 的子集 $S$，将 $S$ 中的元素按从小到大排列为 $a_1<a_2<\cdots<a_k$．若对所有 $1\leqslant i\leqslant k$，$a_i$ 的奇偶性与 $ i $ 相同，则称 $S$ 为 $U$ 的交替子集．约定空集为交替子集．例如 $\{3\},\{3,4,11\},\{1,4,7,8\}$ 均为交替子集．记 $f(n)$ 为 $U=\{1,2,\cdots,n\}$ 的交替子集个数，则 $f(10)=$ _____．
答案 $144$．
解析 $U_n=\{1,2,\cdots,n\}$，则 $U_n$ 的交替子集一定是 $U_{n+1}$ 的交替子集，考虑当 $n$ 变化到 $n+1$ 时新增的交替子集，为 $U_{n-1}$ 的交替子集再根据结尾元素的奇偶对应的补上 $n$ 或 $n+1$ 得到，因此\[f(n+1)=f(n)+f(n-1),\]进而\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline f(n)&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144\\ \hline\end{array}\]