2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #13
已知双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}9=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1 , F_2$，点 $P(4,2)$，点 $Q\left(x_0,y_0\right)$ 是第一象限内双曲线 $\Gamma$ 上的一点，满足 $\dfrac{\overrightarrow{QF_1}\cdot\overrightarrow{PF_1}}{\left|QF_1\right|}=\dfrac{\overrightarrow{F_2 F_1}\cdot\overrightarrow{PF_1}}{\left|F_2 F_1\right|}$．记 $\triangle F_1 PQ,\triangle F_2 PQ$ 的面积分别为 $S_1 , S_2$，则 $S_1-S_2=$（ ）．
答案 $8$．
解析 由 $\dfrac{\overrightarrow{QF_1}\cdot\overrightarrow{PF_1}}{\left|QF_1\right|}=\dfrac{\overrightarrow{F_2 F_1}\cdot\overrightarrow{PF_1}}{\left|F_2 F_1\right|}$ 可得 $P$ 在 $\angle QF_2F_1$ 的角平分线上，又点 $P$ 在 $x$ 轴上的投影为右顶点，因此 $P$ 是焦点三角形 $PF_1F_2$ 的内心，且内切圆半径 $r=2$，因此\[S_1-S_2=\dfrac 12|QF_1|\cdot r-\dfrac12|QF_2|\cdot r=4\cdot 2=8.\]