2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #10
已知抛物线 $C: y^2=6 x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A,B$（$A$ 在第一象限），以 $AB$ 为直径的圆 $E$ 与 $C$ 的准线相切于点 $D$．若 $|AD|=\sqrt 3|BD|$，则下列说法正确的是（ ）
A．$A,B,F$ 三点共线
B．$l$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$|AF|=3|BF|$
D．圆 $E$ 的半径是 $4$
答案 ACD．
解析 根据抛物线的定义和性质，由以 $AB$ 为直径的圆 $E$ 与 $C$ 的准线相切于点 $D$ 可得直线 $AB$ 过焦点 $F$，且由 $|DE|=\dfrac 12|AB|$，可得 $\triangle ADB$ 是以 $D$ 为直角，$\angle DAB=30^\circ$ 的直角三角形，直线 $AB$ 的斜率为 $\sqrt 3$，如图．
设 $A,B$ 在准线上的投影分别为 $A_1,B_1$，则 $\triangle ADF,\triangle ADA_1$ 全等，$\triangle DBF,\triangle DBB_1$ 全等，进而\[|AE|=|DE|=|BE|=2|BF|\implies |AF|=3|BF|,\]而 $\triangle DFB_1$ 是高为 $3$ 的正三角形，于是 $|DF|=2\sqrt 3$，进而圆 $E$ 的半径 $|EB|=2|BF|=4$． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．