2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #15
如图，在平面中，$AB=AC=AD=AE=EC=2$，$BC=2\sqrt 3$，$AD\perp AB$．将 $\triangle DAB,\triangle EAC,\triangle FBC$ 分别沿 $AB,AC,BC$ 折起，形成三棱锥 $P-ABC$．
1、证明：平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$；
2、记三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $O$，$PB,PC$ 的中点分别为 $M,N$，过点 $O,M,N$ 的平面与 $AP$ 交于点 $H$．
① 求 $\dfrac{AH}{AP}$；
② 求四棱锥 $P-OMHN$ 的体积．
解析
1、设 $FH\perp BC$ 于 $H$，连接 $AH,EH$，如图．
在 $\triangle BCF$ 中，$BC=2\sqrt 3$，$BF=BD=2\sqrt 2$，$CF=CE=2$，于是 $\angle BFC$ 为直角，进而\[BH=\dfrac{BF^2}{BC}=\dfrac{4}{\sqrt 3},\quad CH=\dfrac{CF^2}{BC}=\dfrac{2}{\sqrt 3},\]于是 $H$ 在直线 $DA$ 上且 $EH\perp AC$，因此 $H$ 为 $P$ 在底面 $ABC$ 上的投影，命题得证．
2、设 $BC$ 的中点为 $G$，则 $G$ 是 $\triangle PBC$ 的外心，而 $AG\perp PBC$，于是三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心为 $\triangle ABC$ 的外心，即 $O$ 为 $A$ 关于 $G$ 的对称点．过 $O$ 作 $BC$ 的平行线交直线 $AB$ 于点 $Q$，则 $H$ 为直线 $QM$ 与 $PA$ 的交点．
① 对 $\triangle PAB$ 和截线 $HQM$，有\[\dfrac{PH}{HA}\cdot \dfrac{AQ}{QB}\cdot \dfrac{BM}{MP}=1\implies \dfrac{PH}{HA}\cdot 2\cdot 1=1\implies \dfrac{AH}{AP}=\dfrac 23.\]
② 根据题意，有\[[P-ABC]=\dfrac 13\cdot [\triangle ABC]\cdot d(P,ABC)=\dfrac 13\cdot [\triangle ABC]\cdot FH=\dfrac 13\cdot \sqrt 3\cdot \dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{2\sqrt 2}3,\]于是\[\begin{split} [P-OMHN]&=[O-PMN]+[P-MNH]\\ &=\dfrac{PM}{PB}\cdot \dfrac{PN}{PC}\cdot [O-PBC]+\dfrac{PH}{PA}\cdot \dfrac{PM}{PB}\cdot \dfrac{PN}{PC}\cdot [P-ABC]\\ &=\dfrac 14[P-OBC]+\dfrac 1{12}[P-ABC]\\ &=\dfrac 13[P-ABC]\\ &=\dfrac{2\sqrt 2}3.\end{split}\]