2025年12月T8联考高三数学试卷 #14
已知 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，$(\sin\alpha-|\sin\beta|)\cdot(\cos\beta-|\cos\alpha|)=0$，则 $\sin\alpha+\cos\beta-2$ 的最小值为_____．
答案 $-3$．
解析 若 $\sin\alpha=|\sin\beta|$，则\[\sin\alpha+\cos\beta-2=|\sin\beta|+\cos\beta-2\geqslant -3,\]等号当 $\beta=\pi$ 时可以取得； 若 $\cos\beta=|\cos\alpha|$，则\[\sin\alpha+\cos\beta-2=\sin\alpha+|\cos\alpha|-2\geqslant -3,\]等号当 $\alpha=\dfrac{3\pi}2$ 时可以取得； 综上所述，所求代数式的最小值为 $-3$．
备注 所求代数式的取值范围是 $\left[-3,\sqrt 2-\right]$．