已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 作互相垂直的直线分别交抛物线于 $A,B$ 和 $C,D$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，直线 $AC,BD$ 交于点 $G$，求 $\triangle GMN$ 的面积的最小值．
答案 $8$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} [\triangle GMN]&=\dfrac 12\left|\overrightarrow{GM}\times \overrightarrow{GN}\right|\\ &=\dfrac 18\left|\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)\times \left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)\right|\\ &=\dfrac 18\left|\overrightarrow{GA}\times\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}\times\overrightarrow{GC}\right|\\ &=\dfrac 18\big|[\triangle GAD]-[\triangle GBC]\big|\\ &=\dfrac 18\cdot |AB|\cdot |CD|,\end{split}\]设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则根据抛物线的焦点弦长公式，有\[[\triangle GMN]=\dfrac 18\cdot \dfrac{4}{\sin^2\theta}\cdot \dfrac{4}{\cos^2\theta}=\dfrac8{\sin^2(2\theta)}\geqslant 8,\]等号当 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 时可以取得，因此所求 $\triangle GMN$ 的面积的最小值为 $8$．