每日一题[3897]集合与逻辑

有下列命题：

① $\exists x\in A,x\in B$；

② $\exists x\in A,x\notin B$；

③ $\forall x\in A,x\in B$；

④ $\forall x\in A,x\notin B$．

$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____；

$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有____，一定是假命题的有____．

答案    $(1)$ ③④；①②；$(2)$ ④；①

解析    题中四个命题等价于：

① $A\cap B\ne \varnothing$；② $A\cap\complement _UB\ne \varnothing$；③ $A\subseteq B$；④ $A\subseteq \complement_UB$．

当 $A=\varnothing$ 时，命题 ①② 为假命题，命题 ③④ 为真命题；

当 $B=\varnothing$ 时，命题 ① 为假命题，命题命题 ④ 为真命题．