利用椭圆和双曲线的垂径定理解题．
1、椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$AB,CD$ 的斜率均为 $-\dfrac13$，$AC,BD$ 交于点 $P$，求证：直线 $OP$ 的斜率为定值．
2、双曲线 $\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}2=1$ 上四点 $P,Q,M,N$，$P(3,1),Q(-3,-1)$，$MN$ 的斜率为 $\dfrac 13$，$O$ 为坐标原点，直线 $PM,QN$ 交于点 $A$，求证：直线 $OA$ 的斜率为定值．
3、椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$A(2,1),B(-2,-1)$，$AC,BD$ 交于点 $M$，$AD,BC$ 交于点 $N$，求证：直线 $MN$ 的斜率为定值．
解析
1、设 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，则 $P$ 在 $MN$ 上，而\[k_{OM}\cdot k_{AB}=k_{ON}\cdot k_{CD}=-\dfrac14\implies k_{OM}=k_{ON}=\dfrac 34,\]于是 $O$ 在 $MN$ 上，因此 $OP$ 的斜率为定值 $\dfrac 34$．
2、根据题意，$MN\parallel PQ$，设 $MN$ 的中点为 $B$，则 $A,O,B$ 共线，于是\[k_{OA}\cdot k_{MN}=\dfrac13\implies k_{OA}=1.\]
3、根据椭圆的垂径定理，有\[k_{AM}\cdot k_{BN}=k_{AN}\cdot k_{BM}=-\dfrac 12,\]设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则\[\dfrac{y_1-2}{x_1-1}\cdot \dfrac{y_2+2}{x_2+1}=\dfrac{y_1+2}{x_1+1}\cdot \dfrac{y_2-2}{x_2-1}=-\dfrac 12\iff \dfrac{y_1y_2+2(y_1-y_2)-4}{x_1x_2+(x_1-x_2)-1}=\dfrac{y_1y_2-2(y_1-y_2)-4}{x_1x_2-(x_1-x_2)-1}=-\dfrac 12,\]根据合分比定理，有\[-\dfrac 12=\dfrac{4(y_1-y_2)}{2(x_1-x_2)}\implies \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-1,\]为定值．