每日一题[162]参数方程与仿射变换

2015年高考湖北卷理科数学第21题（解析几何大题）：

一种作图工具如图所示．$O$是滑槽$AB$的中点，短杆$ON$可绕$O$转动，长杆$MN$通过$N$处铰链与$ON$连接，$MN$上的栓子可沿滑槽$AB$滑动，且$DN=ON=1$，$MN=3$．当栓子$D$在滑槽$AB$内作往复运动时，带动$N$绕$O$转动一周（$D$不动时，$N$也不动），$M$处的笔尖画出的曲线记为$C$．以$O$为原点，$AB$所在的直线为$x$轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线$C$的方程；

（2）设动直线$l$与两定直线：$l_1:x-2y=0$和$l_2:x+2y=0$分别交于$P$、$Q$两点．若直线$l$总与曲线$C$有且只有一个公共点，试探究：$\triangle OPQ$的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

（1）解    设$N\left(\cos\theta,\sin\theta\right)$，则$D\left(2\cos\theta,0\right)$，于是由 $$\overrightarrow{NM}=-\dfrac 32\overrightarrow{MD}$$ 得 $$M\left(\dfrac{x_N-\frac 32x_D}{1-\frac 32},\frac{y_N-\frac 32y_D}{1-\frac 32}\right)=M\left(4\cos\theta,-2\sin\theta\right),$$ 于是可得曲线$C$的方程为 $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$$

（2）解    存在最小值，最小值为$8$．证明如下：

在伸缩变换 $$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ 下，椭圆$C$变为圆$x'^2+y'^2=16$．而在变换后直线$l_1'$和$l_2'$则变为互相垂直的直线$x'-y'=0$和$x'+y'=0$，如图．

记切点$T$变换后的点为$T'$，则$P'Q'$与圆相切于$T'$，从而 $$\begin{split}S_{\triangle OP'Q'}&=\frac 12OT'\cdot P'Q'\\&=2\left(P'T'+Q'T'\right)\\&\geqslant 4\sqrt{P'T'\cdot Q'T'}\\&=16,\end{split}$$ 等号当$P'T'=Q'T'$时取得．因此$\triangle OPQ$的面积 $$S_{\triangle OPQ}=\frac 12S_{\triangle OP'Q'}\geqslant 8,$$ 于是其最小值存在，且为$8$．

注    本题所用的参数方程以及仿射变换方法可以参见2011年高考数学山东卷压轴题的两种解法．