每日一题[3708]零点分布

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20

已知函数 f(x)=ln(ax+1)x,其中 a>0

1、当 a=1 时,求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处切线的方程;

2、当 a=2 时,证明:对任意的 t(0,+),曲线 y=f(x) 总在直线 y=x+t 的下方;

3、若函数 f(x) 有两个零点 x1,x2,且 0<x2x1<1,求 a 的取值范围.

解析

1、当 a=1 时,f(x)=ln(x+1)x,其导函数f(x)=xx+1,

于是曲线 f=f(x)(0,f(0)) 处切线的方程为y=f(0)(x0)+f(0), y=0.

2、当 a=2 时,f(x)=ln(2x+1)x,欲证命题即t>0,x>12,ln(2x+1)x<x+t,

也即x>12,ln(2x+1)2x<0,
根据对数函数的基本放缩,命题得证.

3、函数 f(x) 的导函数f(x)=x+11ax+1a,

于是 f(x) 满足x1a11a+f(x)↗lna+1a1↘
注意到 f(0)=0,按 11a0 的大小讨论,讨论分界点为 a=1

情形一     0<a<1.此时 x2=0,因此条件转化为 1<x1<11a,而x1a11a0+f(x)↗lna+1a1↘0↘

进而f(1)<0ln(1a)+1<011e<a<1.

情形二    a=1.此时x10+f(x)↗0↘

函数 f(x) 只有 1 个零点,不符合题意.

情形三     a>1.此时 x1=0,因此条件转化为 0<x2<1,而x1a011a+f(x)↗0↗lna+1a1↘

进而f(1)<0ln(1+a)+1<01<a<e1.

综上所述,a 的取值范围是 (11e,1)(1,e1)

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