2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20
已知函数 f(x)=ln(ax+1)−x,其中 a>0.
1、当 a=1 时,求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处切线的方程;
2、当 a=2 时,证明:对任意的 t∈(0,+∞),曲线 y=f(x) 总在直线 y=x+t 的下方;
3、若函数 f(x) 有两个零点 x1,x2,且 0<x2−x1<1,求 a 的取值范围.
解析
1、当 a=1 时,f(x)=ln(x+1)−x,其导函数f′(x)=−xx+1,
于是曲线 f=f(x) 在 (0,f(0)) 处切线的方程为y=f′(0)⋅(x−0)+f(0),即 y=0.
2、当 a=2 时,f(x)=ln(2x+1)−x,欲证命题即∀t>0,∀x>−12,ln(2x+1)−x<x+t,
也即∀x>−12,ln(2x+1)−2x<0,
根据对数函数的基本放缩,命题得证.
3、函数 f(x) 的导函数f′(x)=−x+1−1ax+1a,
于是 f(x) 满足x−1a1−1a+∞f(x)−∞
注意到 f(0)=0,按 1−1a 与 0 的大小讨论,讨论分界点为 a=1.
情形一 0<a<1.此时 x2=0,因此条件转化为 −1<x1<1−1a,而x−1a1−1a0+∞f(x)−∞lna+1a−1
0
−∞
进而f(−1)<0⟺ln(1−a)+1<0⟺1−1e<a<1.
情形二 a=1.此时x−10+∞f(x)−∞0
−∞
函数 f(x) 只有 1 个零点,不符合题意.
情形三 a>1.此时 x1=0,因此条件转化为 0<x2<1,而x−1a01−1a+∞f(x)−∞0
lna+1a−1
−∞
进而f(1)<0⟺ln(1+a)+1<0⟺1<a<e−1.
综上所述,a 的取值范围是 (1−1e,1)∪(1,e−1).