每日一题[3701]数列不等式

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #11

过点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n: x^2-2 n x+y^2=0$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）引斜率为 $k_n$（$k_n>0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n\left(x_n,y_n\right)$，则下列结论正确的是（       ）

A．$\displaystyle\sum_{i=1}^{2025}\ln x_i=-\ln 2026$

B．数列 $\left\{y_n\right\}$ 的通项为 $y_n=\dfrac{2 n\sqrt{n+1}}{n+1}$

C．当 $n>3$ 时 $,x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2 n-1}<\dfrac{x_n}{y_n}$

D．$\dfrac{x_n}{y_n}<\sqrt 2\sin\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}$

答案    ACD．

解析    根据题意，有切线 $l_n$ 的方程为

$$x_nx-n(x_n+x)+y_ny=0,$$ 于是 $$\begin{cases} -x_n-n(x_n-1)=0,\\ -\dfrac{x_n-n}{y_n}=k_n,\\ x_n^2-2nx_n+y_n^2=0,\end{cases}\implies \begin{cases} x_n=\dfrac{n}{n+1},\\ y_n=\dfrac{n}{n+1}\sqrt{2n+1}.\end{cases}$$ 对于选项 $\boxed{A}$，有 $$\sum_{i=1}^{2025}\ln x_i=\ln\prod_{t=1}^{2025}x_i=\ln\dfrac{1}{2026}=-\ln 2026,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，由于

$$x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2n-1}<x_2\cdot x_4\cdot x_6\cdots x_{2n},$$ 于是 $$\left(x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2n-1}\right)^2<\prod_{i=1}^{2n}x_i=\dfrac{1}{2n+1}=\left(\dfrac{x_n}{y_n}\right)^2,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，不等式即

$$\dfrac 1{\sqrt{2n+1}}<\sqrt 2\sin\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}},$$ 注意到 $y=\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $(0,\pi)$ 上单调递减，于是 $$\dfrac{\sin\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\geqslant \dfrac{\sin\frac{1}{\sqrt 3}}{\frac{1}{\sqrt 3}}>\sqrt 3\sin\frac{\pi}6=\dfrac{\sqrt 3}2>\dfrac1{\sqrt 2},$$ 选项正确；

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．