每日一题[3672]极坐标表达

2025年上海市春季高考数学试卷 #20

在平面直角坐标系中，已知曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{4}+y^2=1$（$y \geqslant 0$），点 $P,Q$ 分别为 $\Gamma$ 上不同的两点，$T(t,0)$．

1、求 $\Gamma$ 所在椭圆的离心率；

2、若 $T(1,0)$，$Q$ 在 $y$ 轴上，若 $T$ 到直线 $P Q$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，求 $P$ 的坐标；

3、是否存在 $t$，使得 $\triangle T P Q$ 是以 $T$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 $t$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

解析

1、$\Gamma$ 所在椭圆的离心率为 $\sqrt{1-\dfrac14}=\dfrac{\sqrt 3}2$．

2、根据题意，有 $Q(0,1)$，设 $PQ$ 的方程为 $mx+y-1=0$，则由 $T$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 5}5$，可得

$$\dfrac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{\sqrt 5}5\iff m=\dfrac 12,2,$$ 考虑到 $P$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的上半部分（包括长轴顶点），于是 $|m|\leqslant \dfrac 12$，舍去 $m=2$，从而 $P$ 点的坐标为 $(2,0)$．

3、如图．

将坐标系平移到以 $T$ 为坐标原点，则方程为

$$\dfrac{(x+t)^2}{4}+y^2=1,$$ 将其化为极坐标方程，为 $$\dfrac{(r\cos\theta+t)^2}4+(r\sin\theta)^2=1,$$ 设该方程有 $2$ 个解 $\left(\theta:r\right)$ 和 $\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r\right)$，其中 $r>0$，$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则 $$\begin{cases} (r\cos\theta+t)^2+4r^2\sin^2\theta=4,\\ (-r\sin\theta+t)^2+4r^2\cos^2\theta=4,\end{cases}$$ 两式分别相加、相减整理可得 $$\sin\theta-\cos\theta=-\dfrac{2t}{3r}=\dfrac{2t^2+5r^2-8}{2tr},$$ 从而 $$\begin{cases} 10t^2+15r^2=24,\\ r^2\geqslant \dfrac 49t^2,\end{cases}\implies t^2\leqslant \dfrac{36}{25},$$ 当 $\theta=0,\dfrac{\pi}2$ 时可以取得等号，于是 $t$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 65,\dfrac 65\right]$．