每日一题[3660]迭代估计

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#16

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2 a_n^2+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则 $\left[2 \lg a_{2023}\right]=$ _____．

答案    $-4$．

解析    根据题意，有 $$\dfrac{1}{a_{n+1}}=2a_n+\dfrac{1}{a_n}\implies \dfrac{1}{a_{n+1}^2}=4a_n^2+4+\dfrac{1}{a_n^2}\implies \dfrac{1}{a_{n+1}^2}-\dfrac{1}{a_n^2}>4\implies \dfrac{1}{a_n^2}\geqslant 4n-3,$$ 进而 $$\dfrac{1}{a_{n+1}^2}-\dfrac{1}{a_n^2}=4a_n^2+4\leqslant \dfrac{4}{4n-3}+4\implies \dfrac{1}{a_n^2}\leqslant 4n+1+\ln(4n-7),n\geqslant 2,$$ 这样就有当 $n\geqslant 2$ 时，对 $a_n$ 取值的估计．

当 $n=2023$ 时，有 $$8089\leqslant \dfrac{1}{a_{2023}^2}\leqslant 8093+\ln 8085,$$ 取对数，可得 $$3<\lg 8089\leqslant -2\lg a_{2023}\leqslant \lg(8093+\ln 8085)<4,$$ 于是 $[2\lg a_{2023}=-4$．