2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版) #8
已知在正 n 边形顶点中任取 3 点,构成钝角三角形的概率为 93125,则 n 的可能值为_____.
答案 127 或 376.
解析
一般情形
设正 n 边形的顶点分别为 A1,A2,⋯,An,任取 3 点构成三角形的个数为(n3)=16n(n−1)(n−2).
情形一 n=2k(k∈N∗),考虑 A1 为钝角顶点的情形,此时直径 A1Ak+1 把圆弧分成两个部分,此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分,进而任取 3 点构成钝角三角形的总数为2kk∑i=2(k−i)=k(k−1)(k−2)=18n(n−2)(n−4).
情形二 n=2k+1(k∈N∗),考虑 A1 为钝角顶点的情形,此时过 A1 的直径把圆弧分成两个部分,此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分,进而任取 3 点构成钝角三角形的总数为(2k+1)k+1∑i=2(k+1−i)=12k(k−1)(2k+1)=18n(n−1)(n−3).
因此在正 n 边形顶点中任取 3 点,构成钝角三角形的概率 [1] 为{3n−124n−4,n 为偶数,3n−94n−8,n 为奇数.={34(1−3n−1),n 为偶数,34(1−1n−2),n 为奇数.
回到本题 解方程可得 n=127 或 376.
备注
[1] 此概率当 n→+∞ 时的极限为 34,这是几何概型的一个常见练习题.