每日一题[3652]从古典到几何

2023年浙江大学强基计划数学试题(回忆版) #8

已知在正 n 边形顶点中任取 3 点,构成钝角三角形的概率为 93125,则 n 的可能值为_____.

答案    127376

解析   

一般情形

设正 n 边形的顶点分别为 A1,A2,,An,任取 3 点构成三角形的个数为(n3)=16n(n1)(n2).

 

情形一     n=2kkN),考虑 A1 为钝角顶点的情形,此时直径 A1Ak+1 把圆弧分成两个部分,此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分,进而任取 3 点构成钝角三角形的总数为2kki=2(ki)=k(k1)(k2)=18n(n2)(n4).

情形二     n=2k+1kN),考虑 A1 为钝角顶点的情形,此时过 A1 的直径把圆弧分成两个部分,此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分,进而任取 3 点构成钝角三角形的总数为(2k+1)k+1i=2(k+1i)=12k(k1)(2k+1)=18n(n1)(n3).

因此在正 n 边形顶点中任取 3 点,构成钝角三角形的概率 [1]{3n124n4,n 为偶数,3n94n8,n 为奇数.={34(13n1),n 为偶数,34(11n2),n 为奇数.

回到本题    解方程可得 n=127376

备注

[1] 此概率当 n+ 时的极限为 34,这是几何概型的一个常见练习题.

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