每日一题[3652]从古典到几何

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #8

已知在正 $n$ 边形顶点中任取 $3$ 点，构成钝角三角形的概率为 $\dfrac{93}{125}$，则 $n$ 的可能值为_____．

答案    $127$ 或 $376$．

解析   

一般情形

设正 $n$ 边形的顶点分别为 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，任取 $3$ 点构成三角形的个数为 $$\dbinom n3=\dfrac 16n(n-1)(n-2).$$

情形一     $n=2k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），考虑 $A_1$ 为钝角顶点的情形，此时直径 $A_1A_{k+1}$ 把圆弧分成两个部分，此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分，进而任取 $3$ 点构成钝角三角形的总数为 $$2k\sum_{i=2}^k(k-i)=k(k-1)(k-2)=\dfrac 18n(n-2)(n-4).$$

情形二     $n=2k+1$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），考虑 $A_1$ 为钝角顶点的情形，此时过 $A_1$ 的直径把圆弧分成两个部分，此钝角三角形的另外两个顶点分别位于这两个部分，进而任取 $3$ 点构成钝角三角形的总数为 $$(2k+1)\sum_{i=2}^{k+1}(k+1-i)=\dfrac 12k(k-1)(2k+1)=\dfrac 18n(n-1)(n-3).$$ 因此在正 $n$ 边形顶点中任取 $3$ 点，构成钝角三角形的概率 $^{[1]}$ 为 $$\begin{cases} \dfrac{3n-12}{4n-4},&n~\text{为偶数},\\ \dfrac{3n-9}{4n-8},&n~\text{为奇数}.\end{cases}=\begin{cases} \dfrac34\left(1-\dfrac3{n-1}\right),&n~\text{为偶数},\\ \dfrac34\left(1-\dfrac1{n-2}\right),&n~\text{为奇数}.\end{cases}$$

回到本题    解方程可得 $n=127$ 或 $376$．

备注

$[1]$ 此概率当 $n\to +\infty$ 时的极限为 $\dfrac 34$，这是几何概型的一个常见练习题．