每日一题[3626]三角换元

已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2=c^2$，则使不等式 $\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\geqslant \dfrac k{a+b+c}$ 恒成立的实数 $k$ 的最大值是_____．

答案    $\dfrac{41}{16}$．

解析    设 $\dfrac ac=\cos\theta$，$\dfrac bc=\sin\theta$，$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则题意即求 $$m=\left(\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\right)(a+b+c)=\dfrac{17}{16}+\dfrac{(32\sin\theta\cos\theta+1)(\sin\theta+\cos\theta)+1}{32\sin\theta\cos\theta}$$ 的最小值．设 $\sin\theta+\cos\theta=t$，$t\in\left(-\dfrac 12,\sqrt 2\right]$，则 $\sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}2$，且 $$m=\dfrac{17}{16}+\dfrac{(16(t^2-1)+1)t+1}{16(t^2-1)}=\dfrac{17}{16}+\dfrac{16t(t-1)+1}{16(t-1)}=\dfrac{33}{16}+(t-1)+\dfrac{1}{16(t-1)}\geqslant \dfrac{41}{16},$$ 等号当 $t=\dfrac 54$ 时取得 $^{[1]}$，因此所求实数 $k$ 的最大值为 $\dfrac{41}{16}$．

备注    $[1]$ 此题条件虽然关于 $a,b$ 对称，但取等时 $\theta\ne \dfrac{\pi}4$，也即取等条件并非 $a=b$．