每日一题[3619]阅读理解

2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #19

如图，点 $Z(a,b)$，复数 $z=a+b\mathrm i$（$a,b\in\mathbb R$）可用点 $Z(a,b)$ 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，$x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯豦数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数 $z=a+b\mathrm i$ 都可以表示成 $r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 的形式，即 $\begin{cases}a=r\cos\theta,\\b=r\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $r$ 为复数 $z$ 模，$\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角（以 $x$ 非负半轴为始边，$\overrightarrow{OZ}$ 所在射线为终边的角），我们规定 $0\leqslant\theta<2\pi$ 范围内的辐角 $\theta$ 的值为辐角的主值，记作 $\arg z$．$r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 叫做复数 $z=a+b i$ 的三角形式，并给出复数三角形式的乘法公式： $$r_1\left(\cos\theta_1+\mathrm i\sin\theta_1\right)\cdot r_2\left(\cos\theta_2+\mathrm i\sin\theta_2\right)= r_1 r_2\left(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)\right),$$ 棣莫佛提出了公式： $$\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm i\sin n\theta),$$ 其中 $r>0$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．

1、已知 $z=\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}2\mathrm i,w=\dfrac{\sqrt 2}2+\dfrac{\sqrt 2}2\mathrm i$，求 $z w+z w^3$ 的三角形式；

2、已知 $\theta_0$ 为定值，$0\leqslant\theta_0\leqslant\pi$，将复数 $1+\cos\theta_0+\mathrm i\sin\theta_0$ 化为三角形式；

3、设复平面上单位圆内接正二十边形的 $20$ 个顶点对应的复数依次为 $z_1,z_2,\cdots,z_{20}$，求复数 $z_1^{2024},z_2^{2024},\cdots,z_{20}^{2024}$ 所对应不同点的个数．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{split} z w+z w^3&=z w\left(1+w^2\right)\\ &=\left(\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}2\mathrm i\right)\left(\dfrac{\sqrt 2}2+\dfrac{\sqrt 2}2\mathrm i\right)(1+\mathrm i)\\ &=\sqrt 2\left(-\dfrac{\sqrt 3}2+\dfrac 1 2\mathrm i\right)\\ &=\sqrt 2\left(\cos\dfrac{5\pi}6+\mathrm i\sin\dfrac{5\pi}6\right).\end{split}$$

2、根据题意，有 $$1+\cos\theta_0+i\sin\theta_0=2\cos^2\dfrac{\theta_0}2+2\operatorname{isin}\dfrac{\theta_0}2\cos\dfrac{\theta_0}2=2\cos\dfrac{\theta_0}2\left(\cos\dfrac{\theta_0}2+\mathrm i\sin\dfrac{\theta_0}2\right).$$

3、正二十边形每边所对的中心角为 $\dfrac{2\pi}{20}$，设 $z_1=\cos\theta+i\sin\theta$（$\theta$ 为常数）， 则 $$z_k=(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)\left(\cos\dfrac{2(k-1)\pi}{20}+\mathrm i\sin\dfrac{2(k-1)\pi}{20}\right),k=1,2,\cdots,20,$$ 所以 $$\begin{split} z_k^{2024}&=(\cos 2024\theta+\mathrm i\sin 2024\theta)\left(\cos 2024\cdot\dfrac{2(k-1)\pi}{20}+\mathrm i\sin 2024\cdot\dfrac{2(k-1)\pi}{20}\right)\\ &=(\cos 2024\theta+\mathrm i\sin 2024\theta)\left(\cos 2024\cdot\dfrac{2\pi}{20}+\mathrm i\sin 2024\cdot\dfrac{2\pi}{20}\right)^{k-1}\\ &=(\cos 2024\theta+\mathrm i\sin 2024\theta)\left(\cos\dfrac{2\pi}5+\mathrm i\sin\dfrac{2\pi}5\right)^{k-1},\end{split}$$ 由周期性可知，$z_k^{2024}$ 共有 $5$ 个不同的值，故复数 $z_1^{2024},z_2^{2024},\cdots,z_{20}^{2024}$ 所对应不同点的个数为 $5$．