每日一题[3616]双曲线火锅

2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #11

直线 $y=k x$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 交于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 位于第一象限，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $F$ 为双曲线的左焦点，则（       ）

A．若 $|PQ|=2\sqrt 7$，则 $PF\perp QF$

B．若 $PF\perp QF$，则 $\triangle PQF$ 的面积为 $4$

C．$\dfrac{|PF|}{|PN|}>2$

D．$|PF|-|PN|$ 的最小值为 $4$

答案    AD．

解析    设双曲线右焦点为 $F_1$，根据题意，四边形 $PFQF_1$ 为平行四边形，双曲线的实半轴长 $a=2$，虚半轴长 $b=\sqrt 3$，半焦距 $c=\sqrt 7$．

对于选项 $\boxed{A}$，因为 $|PQ|=2\sqrt 7$，所以 $|PQ|=\left|FF_1\right|$，所以四边形 $PFQF_1$ 为矩形，所以 $PF\perp QF$，故选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，据双曲线定义可知：$|PF|-\left|PF_1\right|=4$，$\left|FF_1\right|=2\sqrt 7$，若 $PF\perp QF$，则四边形 $PFQF_1$ 为矩形，则

$$|PF|^2+\left|PF_1\right|^2=\left|FF_1\right|^2,$$ 于是 $$\left(|PF|-\left|PF_1\right|\right)^2+2|PF|\cdot\left|PF_1\right|=\left|FF_1\right|^2\iff 4^2+2|PF|\cdot\left|QF_1\right|=(2\sqrt 7)^2\iff |PF|\cdot\left|PF_1\right|=6,$$ 所以 $|PF||QF|=6$，所以 $\triangle PQF$ 的面积 $$[{\triangle PQF}]=\dfrac 1 2|PF|\cdot|QF|=\dfrac 1 2\times 6=3,$$ 故选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，由双曲线的方程可知，在 ${\mathrm Rt}\triangle PFN$ 中，有

$$\dfrac{|PF|}{|PN|}=\sqrt{\dfrac{|PF|^2}{|PN|^2}}=\sqrt{\dfrac{|PN|^2+|FN|^2}{|PN|^2}}=\sqrt{1+\dfrac{|FN|^2}{|PN|^2}},$$ 又因为双曲线渐近线方程为 $y=\pm\dfrac{\sqrt 3}2 x$，有 $$\dfrac{|PN|}{|FN|}<\dfrac{\sqrt 3}2\implies \sqrt{1+\dfrac{|FN|^2}{|PN|^2}}>\sqrt{1+\dfrac 4 3}=\dfrac{\sqrt{21}}3\implies \dfrac{|PF|}{|PN|}>\dfrac{\sqrt{21}}3,$$ 故选项错误；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$|PF|-|PN|=2 a+\left|PF_1\right|-|PN|=4+\left|PF_1\right|-|PN|,$$ 当且仅当 $\left|PF_1\right|=|PN|$ 时，$|PF|-|PN|$ 取到最小值为 $4$，故选项正确．

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$．