每日一题[3603]分离变量

2024年10月九省联考高三数学质量检测 #14

若函数 $f(x)=\dfrac x{\mathrm e^x}-m(2 x+1)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $m$ 的取值范围是____．

答案    $\left(0,\dfrac 14\mathrm e^{-\frac 12}\right)\cup\left(\mathrm e,+\infty\right)$．

解析    根据题意，有

$$f(x)=0\iff \dfrac 1m=\mathrm e^x\left(2+\dfrac 1x\right),$$ 设 $g(x)=\mathrm e^x\left(2+\dfrac 1x\right)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x^2}\cdot (x+1)(2x-1),$$ 于是 $g(x)$ 满足 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0^-&0^+&\left(0,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\nearrow&\mathrm e^{-1}&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&4\mathrm e^{\frac 12}&\nearrow&+\infty \\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $\dfrac 1m$ 的取值范围是 $\left(0,\mathrm e^{-1}\right)\cup\left(4\mathrm e^{\frac 12},+\infty\right)$，进而实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\mathrm e^{-\frac 12}\right)\cup\left(\mathrm e,+\infty\right)$．