每日一题[3482]公切线与零点

2024年广东四校高三年级第一次联考#19

已知函数 $f(x)=a\mathrm e^x$，$g(x)=\ln x+b$（$a,b\in\mathbb R$）．

1、当 $b=1$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

2、已知直线 $l_1 , l_2$ 是曲线 $y=g(x)$ 的两条切线，且直线 $l_1 , l_2$ 的斜率之积为 $1$．

① 记 $x_0$ 为直线 $l_1 , l_2$ 交点的横坐标，求证：$x_0<1$；

② 若 $l_1 , l_2$ 也与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $a,b$ 的关系式并求出 $b$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有 $$\forall x>0,~a\mathrm e^x\geqslant \ln x+1\iff \forall x>0,~a\geqslant \mathrm e^{-x}(\ln x+1),$$ 设 $h(x)=\mathrm e^{-x}(\ln x+1)$，则其导函数 $$h'(x)=\mathrm e^{-x}\left(\dfrac 1x-\ln x-1\right),$$ 而 $y=\dfrac 1x-\ln x-1$ 是 $\mathbb R^+$ 上的单调递减函数，且当 $x=1$ 时函数值为 $0$，因此函数 $h(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，亦为最大值 $h(1)=\dfrac 1{\mathrm e}$，从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac1{\mathrm e},+\infty\right)$．

2、① 设切线 $l_1,l_2$ 对应的切点横坐标分别为 $x_1,x_2$，则 $$l_1:y=\dfrac 1{x_1}x-1+b+\ln x_1,\quad l_2:y=\dfrac{1}{x_2}x-1+b+\ln x_2,$$ 其中直线 $l_1,l_2$ 的斜率之积 $\dfrac{1}{x_1}\cdot \dfrac{1}{x_2}=1$，从而 $x_1x_2=1$．联立直线 $l_1,l_2$ 的方程可得直线 $l_1,l_2$ 交点的横坐标 $$x_0=\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}<\dfrac{1}{\sqrt{x_1x_2}}=1,$$ 其中用到了对数平均不等式．

② 设直线 $l_1$ 与曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的切点横坐标分别为 $x_1,x_2$，则 $$f'(x_1)=g'(x_2)=\dfrac{f(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2},$$ 即 $$a\mathrm e^{x_1}=\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{a\mathrm e^{x_1}-\ln x_2-b}{x_1-x_2}\iff \begin{cases} a\mathrm e^{x_1}=\dfrac{1}{x_2},\\ \dfrac{1}{x_2}=\dfrac{\dfrac1{x_2}-\ln x_2-b}{x_1-x_2},\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} \ln a+x_1=-\ln x_2,\\ x_1=1-x_2\ln x_2-(b-1)x_2,\end{cases}\iff \begin{cases} x_1=-\ln x_2-\ln a,\\ (x_2-1)\ln x_2+(b-1)x_2-1-\ln a=0,\end{cases}$$ 因此题意即关于 $x$ 的方程 $$(x-1)\ln x+(b-1)x-1-\ln a=0$$ 有两个积为 $1$ 的正实数解，设为 $t,\dfrac 1t$（$t>1$），于是 $$(t-1)\ln t+(b-1)t-1-\ln a=\left(\dfrac 1t-1\right)\ln\dfrac 1t+(b-1)\cdot \dfrac 1t-1-\ln a=0,$$ 也即 $$(t-1)\ln t+(b-1)t-1-\ln a=\left(t-1\right)\ln t+(b-1)-(1+\ln a)t=0,$$ 于是 $b=-\ln a$，且 $$(t-1)\ln t+(b-1)(t+1)=0\iff b-1=\dfrac{1-t}{1+t}\cdot \ln t,$$ 也即函数 $r(x)=\dfrac{1-x}{1+x}\cdot \ln x$ 的图象与直线 $y=b-1$ 有大于 $1$ 的实数解．函数 $r(x)$ 的导函数 $$h'(x)=\dfrac{\dfrac 1x-x-2\ln x}{(x+1)^2},$$ 根据对数函数的进阶放缩，可得 $r(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=1$ 处取得极大值，也为最大值 $r(1)=0$．考虑到当 $x\to +\infty$ 时，$r(x)\to -\infty$，因此实数 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,1)$．

综上所述，$a,b$ 的关系为 $\ln a+b=0$，实数 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,1)$．