每日一题[3432]极化恒等式

在长方形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=6$，点 $E,F$ 分别为边 $BC$ 和 $CD$ 上两个动点（含端点），且 $EF=5$，设 $\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$，则（       ）

A．$\dfrac 1 6\leqslant\lambda\leqslant 1$，$\dfrac 3 8\leqslant\mu\leqslant 1$

B．$\lambda+\mu$ 为定值

C．$\overline{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$ 的最小值 $50$

D．$\left|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right|$ 的最大值为 $\sqrt{265}$

答案    AC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，建立平面直角坐标系 $A-BD$，则 $E(8,6\lambda)$，$F(8\mu,6)$，于是

$$EF=5\implies 64(1-\mu)^2+36(1-\lambda)^2=25,$$ 又 $\lambda,\mu\in[0,1]$，从而 $64(1-\mu)^2\le25$ 且 $36(1-\lambda)^2\leqslant 25$，因此 $\dfrac 16\leqslant \lambda\leqslant 1$，$\dfrac 38\leqslant \mu \leqslant 1$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，$(\lambda,\mu)$ 的可行的两组解为 $\left(1,\dfrac 38\right),\left(\dfrac 16,1\right)$，因此 $\lambda+\mu$ 不为定值，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，设 $EF$ 的中点为 $M$，则 $CM=\dfrac 12EF=\dfrac 52$，根据极化恒等式，有

$$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=AM^2-\dfrac 14EF^2\geqslant \left(AC-CM\right)^2-\dfrac 14EF^2=\left(10-\dfrac 52\right)^2-\dfrac 14\cdot 5^2=50,$$ 因此 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 的最小值为 $50$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，有 $\left|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right|=2AM$，而 $M$ 的轨迹是以 $C$ 为圆心 $\dfrac 52$ 为半径的四分之一圆，端点分别为 $P\left(\dfrac{11}2,6\right)$ 和 $Q\left(8,\dfrac 72\right)$，因此所求最大值为 $AP=\dfrac 12\sqrt{155}$ 和 $AQ=\dfrac 12\sqrt{305}$ 的较大者，为 $\dfrac 12\sqrt{305}$，选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．