每日一题[3412]最小系数

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\dfrac{\sin A}{\sin B}=n\sin C$，$\dfrac{\cos A}{\cos B}=n\cos C$，则正整数 $n$ 的最小值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

答案    B．

解析    根据题意，有 $$\begin{cases} \sin B\sin C=\dfrac 1n\sin A,\\ \cos B\cos C=\dfrac 1n\cos A,\end{cases}\implies \begin{cases} \tan B\tan C=\tan A,\\ \cos(B+C)=\dfrac 1n(\cos A-\sin A),\end{cases}$$ 由第二个方程可得 $$-\cos A=\dfrac 1n(\cos A-\sin A)\implies \tan A=n+1.$$ 根据三角形中的三角恒等式 $$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C,$$ 可得 $$\tan B+\tan C=\tan^2A-\tan A=(n+1)^2-(n+1)=n^2+n,$$ 于是 $\tan B,\tan C$ 是关于 $x$ 的方程 $$x^2-(n^2+n)x+(n+1)=0$$ 的两根，因此 $$\Delta=\sqrt{(n^2+n)^2-4(n+1)}=\sqrt{(n+1)(n^2(n+1)-4)},$$ 所以正整数 $n$ 的最小值为 $2$．