在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\dfrac{\sin A}{\sin B}=n\sin C$，$\dfrac{\cos A}{\cos B}=n\cos C$，则正整数 $n$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
答案 B．
解析 根据题意，有\[\begin{cases} \sin B\sin C=\dfrac 1n\sin A,\\ \cos B\cos C=\dfrac 1n\cos A,\end{cases}\implies \begin{cases} \tan B\tan C=\tan A,\\ \cos(B+C)=\dfrac 1n(\cos A-\sin A),\end{cases}\]由第二个方程可得\[-\cos A=\dfrac 1n(\cos A-\sin A)\implies \tan A=n+1.\]根据三角形中的三角恒等式\[\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C,\]可得\[\tan B+\tan C=\tan^2A-\tan A=(n+1)^2-(n+1)=n^2+n,\]于是 $\tan B,\tan C$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-(n^2+n)x+(n+1)=0\]的两根，因此\[\Delta=\sqrt{(n^2+n)^2-4(n+1)}=\sqrt{(n+1)(n^2(n+1)-4)},\]所以正整数 $n$ 的最小值为 $2$．