每日一题[160] 不等式组的解

2015年高考湖北卷理科数学第10题（选择压轴题）：

设 $x\in\mathcal R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若存在实数 $t$ ，使得 $[t]=1$ ， $\left[t^2\right]=2$ ， $\cdots$ ， $\left[t^n\right]=n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是（）

A．3

B．4

C．5

D．6

正确答案是B．

如图，将 $\left[t^n\right]=n$ 的解

$n^{\frac 1n}\leqslant t<\left(n+1\right)^{\frac 1n},$ 其中

$n=1,2,\cdots$ 分别标在数轴上，记这些区间分别为

$A_1,A_2,\cdots$ ，则有

$\bigcap_{k=1}^4A_k=\left[3^{\frac 13},5^{\frac 14}\right),$ 而

$\bigcap_{k=1}^5A_k=\varnothing.$ 于是所求正整数

$n$ 的最大值是

$4$ ．

注其中省略了很多幂式的大小比较过程．

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