每日一题[3390]周长极值

"不以规矩，不能成方圆"出自《孟子・离娄章句上》．"规" 指圆规，"矩" 指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量，画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以"矩" 量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\dfrac 1 3$，则这块四边形木板周长的最大值为（        ）

A．$\dfrac{10(\sqrt{30}+\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$

B．$\dfrac{10(\sqrt{30}-\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$

C．$\dfrac{10(\sqrt{10}+\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$

D．$\dfrac{10(\sqrt{10}-\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$

答案    A．

解析    根据题意，圆的直径 $m=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt 5$．设四边形为 $ABCD$，且 $A=\alpha$，则根据正弦定理 $BD=m\sin\alpha$，设 $AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，$DA=d$，则根据余弦定理，有

$$d^2+a^2-2ad\cos\alpha=b^2+c^2-2bc\cos(\pi-\alpha)=m^2\sin^2\alpha,$$ 即 $$(a+d)^2-2ad(1+\cos\alpha)=(b+c)^2-2bc(1-\cos\alpha)=m^2\sin^2\alpha,$$ 根据均值不等式，有 $$\begin{cases} m^2\sin^2\alpha\geqslant (a+d)^2-\dfrac 12(a+d)^2(1+\cos\alpha)=(a+d)^2\cdot \dfrac{1-\cos\alpha}2,\\ m^2\sin^2\alpha\geqslant (b+c)^2-\dfrac 12(b+c)^2(1-\cos\alpha)=(b+c)^2\cdot \dfrac{1+\cos\alpha}2,\end{cases}$$ 因此 $$a+b+c+d\leqslant\sqrt{\dfrac{2m^2\sin^2\alpha}{1-\cos\alpha}}+\sqrt{\dfrac{2m^2\sin^2\alpha}{1+\cos\alpha}}=2m\cos\dfrac{\alpha}2+2m\sin\dfrac{\alpha}2=2\sqrt2 m\sin\left(\dfrac{\alpha}2+\dfrac{\pi}4\right),$$ 代入数据即得．