每日一题[3383]焦准定义

在平面直角坐标系中，若方程 $m(x^2+y^2+2y+1)=(x-2y+3)^2$ 表示的曲线为椭圆，则 $m$ 的取值范围为（       ）

A．$(0,1)$

B．$(1,+\infty)$

C．$(0,5)$

D．$(5,+\infty)$

答案    D．

解析    由已知得

$$\dfrac{\sqrt{x^2+(y+1)^2}}{\left|\dfrac{x-2y+3}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right|}=\sqrt{\dfrac5 m},$$ 这说明 $(x,y)$ 到定点 $(0,1)$ 与到直线 $x-2y+3=0$ 的距离之比为常数 $\sqrt{\dfrac5 m}$，由椭圆的焦准定义得 $\sqrt{\dfrac5 m}<1$，所以 $m>5$．