每日一题[3316]插入数列

给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自 $1,1$ 起进行构造，第 $1$ 次得到数列 $1,2,1$，第 $2$ 次得到数列 $1,3,2,3,1,\cdots$，依次类推得到如下的三角形数表： $$\begin{split} &1,1\\ &1,2,1\\ &1,3,2,3,1\\ &1,4,3,5,2,5,3,4,1\end{split}$$ 记 $a_{i j}$ 表示上表中第 $i$ 行，第 $j$ 列的数，$b_i$ 表示上表中第 $i$ 行所有数字之和（$1\leqslant i\leqslant n$，$1\leqslant j\leqslant 2^{n-1}+1$，$i,j\in \mathbb N^{\ast}$）．

1、求 $a_{54}$ 和 $a_{66}$，并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

2、记集合 $T=\left\{S(k,t)\mid S(k,t)=b_k+b_{k+1}+\cdots+b_t,1\leqslant k<t,k,t\in \mathbb N^{\ast}\right\}$，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到新数列为 $\left\{c_n\right\}$，若 $c_m\leqslant 2025$，求 $m$ 的最大值．

解析

1、$a_{54}=7$，$a_{66}=11$，对于数列 $b_n$，有 $$b_{n+1}=3b_n-2\implies b_{n+1}-1=3(b_n-1),$$ 而 $b_1=2$，于是 $b_n=3^{n-1}+1$．

2、根据题意，有 $$\begin{split} S(k,t)&=\sum_{i=k}^tb_i\\ &=\sum_{i=k}^t\left(3^{i-1}+1\right)\\ &=\dfrac{3^t-3^{k-1}}2+t-k+1,\end{split}$$ 由于 $1\leqslant k<t$（$k\in\mathbb N$），于是 $1\leqslant k\leqslant t-1$，进而 $$\dfrac 49\cdot 3^t+2\leqslant S(k,t)\leqslant \dfrac 12\cdot 3^t+t-\dfrac 12,$$ 而 $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline t&6&7&8\\ \hline \dfrac 49\cdot 3^t+2&326&974&2918\\ \hline \dfrac 12\cdot 3^t+t-\dfrac 12&370&1100&3288\\ \hline \end{array}$$ 因此 $m$ 的最大值即使得 $S(k,t)\leqslant 2025$ 的所有有序正整数对 $(k,t)$ 的个数，为 $\dbinom 72=21$．