每日一题[3285]欧拉错排

已知有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=n$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），将数列 $\left\{a_n\right\}$ 中各项重新排列构成新数列 $\left\{b_n\right\}$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的重排数列，若数列 $\left\{b_n\right\}$ 各项均满足 $b_n \neq a_n$，则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列，记项数为 $n$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的完全重排数列的个数为 $D_n$．

1、计算 $D_2, D_3, D_4$；

2、写出 $D_{n+1}$ 和 $D_n, D_{n-1}$（$n \geqslant 2$）之间的递推关系，并证明：数列 $\left\{D_n-n D_{n-1}\right\}$（$n \geqslant 2$）是等比数列；

3、若从数列 $\left\{a_n\right\}$ 及其所有重排数列中随机选取一个数列 $\left\{c_n\right\}$，记数列 $\left\{c_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的 完全重排数列的概率为 $P_n$，证明：当 $n$ 无穷大时，$P_n$ 趋近于 $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$． 参考公式： $$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots.$$

解析

1、根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $D_{n+1}=n(D_n+D_{n-1})$，于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4\\ \hline D_n&0&1&2&9 \\ \hline\end{array}$$

2、即欧拉错排数的递推公式，且 $$D_n-nD_{n-1}=(-1)^{n}.$$

3、由第 $(2)$ 小题的结论可得 $$D_n=n!\cdot \sum_{k=2}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},$$ 于是 $$\lim_{n\to +\infty}P_n=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{D_n}{n!}=\mathrm e^{-1},$$ 命题得证．