每日一题[3247]卡西尼恒等式

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{2}=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$，$n \in \mathbb{N}^{\ast}$，则（       ）

A．只存在有限个正整数 $m$，使得 $a_{m}$ 与 $a_{m+1}$ 互素

B．至少存在一个正整数 $m$，使得 $a_{m+2} \cdot a_{m}=a_{m+1}^{2}$

C．存在无穷多的正整数 $p$ 和 $q$，使得 $a_{p} a_{q}-1$ 为完全平方数

D．存在无穷多的正整数对 $(m, n)$，使得 $a_{m} \mid\left(a_{n}^{2}+1\right)$，且 $a_{n} \mid\left(a_{m}^{2}+1\right)$

答案    CD．

解析    根据卡西尼恒等式，有

$$a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n=(-1)^n.$$

对于选项 $\boxed{A}$，设 $(a_n,a_{n+1})=d$，则

$$d\mid a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n\implies d\mid (-1)^n\implies d=1,$$ 因此对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 互质，选项错误．

对于选项 $\boxed{B}$，根据卡西尼恒等式，选项错误．

对于选项 $\boxed{C}$，在卡西尼恒等式中，取 $n=2m-1$，则有

$$a_{2m}^2=a_{2m+1}a_{2m-1}-1,$$ 因此选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，根据卡西尼恒等式，有

$$\begin{cases} a_k^2+1=a_{k+2}a_{k-2},\\ a_{k+2}^2+1=a_{k+4}a_k,\end{cases}\implies \begin{cases} a_{k+2}\mid (a_k^2+1),\\ a_k\mid (a_{k+2}^2+1),\end{cases}$$ 因此选项正确．

综上所述，正确选项有 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．