每日一题[3207]强行合并

正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$\left(\dfrac{1}{a^2}-a^3\right)\left(\dfrac{1}{b^2}-b^3\right) \geqslant\left(\dfrac{31}{8}\right)^2$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split}\left(\dfrac{1}{a^2}-a^3\right)\left(\dfrac{1}{b^2}-b^3\right) &=\dfrac{(1-a^5)(1-b^5)}{a^2b^2}\\ &=\dfrac{1-a^5}{(1-a)a}\cdot \dfrac{1-b^5}{(1-b)b}\\ &=\left(\dfrac 1a+1+a+a^2+a^3\right)\left(\dfrac 1b+1+b+b^2+b^3\right)\\ &\geqslant \left(\dfrac1{\sqrt{ab}}+1+\sqrt{ab}+\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{ab}\right)^3\right)^2,\end{split}$$ 设 $f(x)=\dfrac1x+1+x+x^2+x^3$，其中 $x\in\left(0,\dfrac 12\right]$，则其导函数 $$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+1+2x+3x^2\leqslant -4+1+1+\dfrac 34<0,$$ 因此 $$f(x)\geqslant f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{31}8,$$ 所以原命题得证．