2015年高考湖南卷理科数学第21题（压轴题）：
已知\(a>0\)，函数\(f(x)={\rm e}^{ax}\sin x\)（\(x\in [0,+\infty)\)）．记\(x_n\)为\(f(x)\)的从小到大的第\(n\)（\(n\in\mathcal N^*\)）个极值点，证明：
（1）数列\(\left\{f(x_n)\right\}\)是等比数列；
（2）若\(a\geqslant\dfrac{1}{\sqrt{{\rm e}^2-1}}\)，则对一切\(n\in \mathcal N^*\)，\(x_n<\left|f(x_n)\right|\)恒成立．
（1）证明 根据题意，有\[f'(x)={\rm e}^{ax}\left( a\sin x+\cos x\right),\]于是\[a\sin x_n+\cos x_n=0,\]解得\[x_n=n\pi-\arctan \frac 1a,n\in\mathcal N^*.\]记\(\varphi=\arctan\dfrac 1a\)，则\[\begin{split}f(x_n)&={\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)}\sin\left(n\pi-\varphi\right)\\&=-\left(-{\rm e}^{a\pi}\right)^n\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}\cdot {\rm e}^{-a\varphi},\end{split}\]因此数列\(\left\{f(x_n)\right\}\)是公比为\(-{\rm e}^{a\pi}\)的等比数列．
（2）证明 用分析法，根据题意\[\begin{split}x_n<\left|f(x_n)\right|&\Leftrightarrow n\pi-\varphi<\left|{\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)}\sin\left(n\pi-\varphi\right)\right|\\&\Leftrightarrow n\pi-\varphi<{\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)}\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\\&\Leftrightarrow \sqrt{1+a^2}\cdot\left(n\pi-\varphi\right)<{\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)} ,\end{split}\]令\(t=a\left(n\pi-\varphi\right)\)，则只需要证明\[\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}\cdot t<{\rm e}^t.\]
事实上，很容易证明当\(t>0\)时，不等式\[{\rm e}^t>{\rm e} t\]成立，而由已知条件又有\[\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}<{\rm e},\]因此原命题得证．
注 \(g(x)=f(x)\cdot\sin x\)类型的函数是一类重要的函数．一方面有\[-\left|f(x)\right|\leqslant g(x)\leqslant \left|f(x)\right|,\]于是函数\(y=g(x)\)的图象夹在\(y=f(x)\)与\(y=-f(x)\)的图象之间．另一方面，注意到\[g'(x)=f(x)\cdot \cos x+f'(x)\cdot \sin x,\]于是\(g(x)\)的图象与曲线\(y=\pm f(x)\)相切于\[x=k\pi+\dfrac\pi 2,k\in\mathcal N^*.\]
