每日一题[3163]闲来无事

在半径为 $1$ 的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新融成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为______．

答案    $\dfrac{8\pi\sqrt[3]{12}}{9}$．

解析    设球心到的球内接圆锥的距离为 $x$，则圆锥的体积

$$V(x)=\dfrac {\pi}3\cdot (1-x^2)(1+x)=\dfrac{\pi}6\cdot (1+x)^2(2-2x)\leqslant \dfrac{\pi}6\cdot \left(\dfrac 43\right)^3=\dfrac {32\pi}{81},$$ 等号当 $x=\dfrac13$ 时取得，因此圆锥的最大体积 $V=\dfrac{32\pi}{81}$．设圆柱的底面半径为 $r$，则其表面积 $$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \dfrac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\dfrac Vr+\dfrac Vr\geqslant 3\left(2\pi V^2\right)^{\frac13}=\dfrac{8\pi\sqrt[3]{12}}{9},$$ 等号当 $r^3=\dfrac{V}{2\pi}$ 时取得，因此所求表面积的最小值为 $\dfrac{8\pi\sqrt[3]{12}}{9}$．