每日一题[3118]对偶数列

已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，$b_1=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，$b_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，则下列选项正确的有（       ）

A．$\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{17}{4}$

B．$a_{100}^2+b_{100}^2=\dfrac{5}{2} a_{100} \cdot b_{100}$

C．$200<a_{100} \cdot b_{100}<\dfrac{449}{2}$

D．$a_{100}-b_{100}<-15 \sqrt{2}$

答案    ACD．

解析    根据题意，有 $$\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\dfrac{b_n+\dfrac{1}{a_n}}{a_n+\dfrac{1}{b_n}}=\dfrac{b_n}{a_n},$$ 因此 $$\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{b_1}{a_1}+\dfrac{a_1}{b_1}=4+\dfrac 14=\dfrac{17}4,$$

选项 $\boxed{A}$ 正确． 进而可得 $$\dfrac{a_n}{b_n}=\begin{cases} 4,&n~\text{是奇数},\\ \dfrac14,&n~\text{是偶数},\end{cases}\implies \dfrac{a_n}{b_n}+\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{17}4\iff \dfrac{a_n^2+b_n^2}{a_nb_n}=\dfrac{17}4,$$

选项 $\boxed{B}$ 错误． 而 $$a_{n+1}b_{n+1}=\left(b_n+\dfrac{1}{a_n}\right)\left(a_n+\dfrac{1}{b_n}\right)=a_n b_n+\dfrac{1}{a_nb_n}+2,$$ 因此当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$a_{n+1}b_{n+1}-a_nb_n>2\implies a_nb_n>a_2b_2+2\cdot (n-2)=2n,$$ 且当 $n\geqslant 3$ 时，有 $a_nb_n\geqslant 4$，从而当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$a_{n+1}b_{n+1}-a_nb_n=\dfrac{1}{a_nb_n}+2\leqslant \dfrac 14+2=\dfrac 94,$$ 因此 $$a_nb_n<a_2b_2+ \dfrac 94\cdot (n-2)=\dfrac{9n-2}4,$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确．

根据之前的结论，有当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$\dfrac{(a_n-b_n)^2}{a_nb_n}=\dfrac{9}4\implies (a_n-b_n)^2=\dfrac 94a_nb_n>\dfrac 94\cdot 2n=\dfrac 92n\implies |a_n-b_n|=\dfrac{3\sqrt{2n}}2,$$ 因此 $$a_{100}-b_{100}=-|a_{100}-b_{100}|<\dfrac{3\sqrt{200}}2=-15\sqrt 2,$$ 选项 $\boxed{D}$ 成立．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．