每日一题[3100]代数特征

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，$S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_n+2$，则 $a_4$ 的值为（       ）

A．$3$

B．$18$

C．$54$

D．$152$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$a_{n+1}+S_n=3S_n+2\iff S_{n+1}+1=3(S_n+1)\iff S_n+1=3^{n-1}(S_1+1),$$ 从而 $$S_n=(S_1+1)\cdot 3^{n-1}-1,$$ 根据等比数列前 $n$ 项和的代数形式，可得 $$S_n=3^n-1,$$ 于是 $a_4=S_4-S_3=3^4-3^3=54$．