设函数 $f(x)=x-x^{3} \mathrm{e}^{a x+b}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=-x+1$．
1、求 $a, b$ 的值．
2、设 $g(x)=f^{\prime}(x)$，求 $g(x)$ 的单调区间．
3、求 $f(x)$ 极值点的个数．
解析
1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=1-{\rm e}^{ax+b}x^2(3+ax),\]进而\[\begin{cases} f(1)=0,\\ f'(1)=-1,\end{cases}\iff \begin{cases} 1-{\rm e}^{a+b}=0,\\ 1-{\rm e}^{a+b}(3+a)=-1,\end{cases}\iff \begin{cases} a=-1,\\ b=1.\end{cases}\]
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[g(x)=1-{\rm e}^{1-x}x^2(3-x),\]于是 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=-{\rm e}^{1-x}x(3+\sqrt 3-x)(3-\sqrt 3-x),\]因此函数 $g(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,3-\sqrt 3\right)$ 和 $\left(3+\sqrt 3,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(-\infty,0\right)$ 和 $\left(3-\sqrt 3,3+\sqrt 3\right)$．
3、根据第 $(2)$ 小题的结果，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0&\left(0,3-\sqrt 3\right)&3-\sqrt 3&\left(3-\sqrt 3,3+\sqrt 3\right)&3+\sqrt 3&\left(3+\sqrt 3,+\infty\right)&+\infty \\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&1&\searrow&g\left(3-\sqrt 3\right)&\nearrow&g\left(3+\sqrt 3\right)&\searrow&0\\ \hline\end{array}\] 而\[g\left(3-\sqrt 3\right)=1-{\rm e}^{\sqrt 3-2}\cdot\sqrt 3\cdot \left(3-\sqrt 3\right)^2<1-3\sqrt 3\left(\sqrt 3-1\right)^3=1-\left(3-\sqrt 3\right)^3<0,\]且\[g\left(3+\sqrt 3\right)=1+{\rm e}^{-\left(2+\sqrt 3\right)}\cdot \sqrt 3\cdot \left(3+\sqrt 3\right)^2>0,\]结合\[g(-1)=1-4{\rm e}^2<0,\]且当 $x>3$ 时，有\[g(x)=1+{\rm e}^{1-x}x^2(x-3)>0,\]可得 $g(x)$ 有 $3$ 个变号零点，从而 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点（其中 $2$ 个极小值点，$1$ 个极大值点）．