每日一题[3090]迭代函数法

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则（       ）

A．当 $a_{1}=3$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，且存在常数 $M\leqslant 0$，使得 $a_n>M$ 恒成立

B．当 $a_{1}=5$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且存在常数 $M\leqslant 6$，使得 $a_n<M$ 恒成立

C．当 $a_{1}=7$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列，且存在常数 $M> 6$，使得 $a_n>M$ 恒成立

D．当 $a_{1}=9$ 时，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，且存在常数 $M> 0$，使得 $a_n<M$ 恒成立

答案    B．

解析    递推公式对应的迭代函数 $f(x)=\dfrac 14(x-6)^3+6$，利用研究数列的迭代函数法，如图．

当 $a_1=3$ 时，$\{a_n\}$ 单调递减趋于负无穷大，没有下界，选项 $\boxed{A}$ 错误；

当 $a_1=5$ 时，$\{a_n\}$ 单调递增趋于 $6$，有上界 $6$，选项 $\boxed{B}$ 正确；

当 $a_1=7$ 时，$\{a_n\}$ 单调递减趋于 $6$，没有大于 $6$ 的下界，选项 $\boxed{C}$ 错误；

当 $a_1=9$ 时，$\{a_n\}$ 单调递增趋于正无穷大，没有上界，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，选项 $\boxed{B}$ 正确．