已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6$($n\in\mathbb N^{\ast}$),则( )
A.当 $a_{1}=3$ 时,则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列,且存在常数 $M\leqslant 0$,使得 $a_n>M$ 恒成立
B.当 $a_{1}=5$ 时,则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列,且存在常数 $M\leqslant 6$,使得 $a_n<M$ 恒成立
C.当 $a_{1}=7$ 时,则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递减数列,且存在常数 $M> 6$,使得 $a_n>M$ 恒成立
D.当 $a_{1}=9$ 时,则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列,且存在常数 $M> 0$,使得 $a_n<M$ 恒成立
答案 B.
解析 递推公式对应的迭代函数 $f(x)=\dfrac 14(x-6)^3+6$,利用研究数列的迭代函数法,如图.
当 $a_1=3$ 时,$\{a_n\}$ 单调递减趋于负无穷大,没有下界,选项 $\boxed{A}$ 错误;
当 $a_1=5$ 时,$\{a_n\}$ 单调递增趋于 $6$,有上界 $6$,选项 $\boxed{B}$ 正确;
当 $a_1=7$ 时,$\{a_n\}$ 单调递减趋于 $6$,没有大于 $6$ 的下界,选项 $\boxed{C}$ 错误;
当 $a_1=9$ 时,$\{a_n\}$ 单调递增趋于正无穷大,没有上界,选项 $\boxed{D}$ 错误.
综上所述,选项 $\boxed{B}$ 正确.