每日一题[3061]模长限定

已知平面向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 满足 $|\boldsymbol a|=\dfrac{\sqrt 2}4$，$\boldsymbol b= \boldsymbol e_1+\lambda\boldsymbol e_2$（$\lambda\in\mathbb R$），其中 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ 为不共线的平面向量，若对符合上述条件的任意向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 均有 $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\geqslant \dfrac{\sqrt 2}4$，则 $\boldsymbol e_1$ 与 $\boldsymbol e_2$ 的夹角的最小值为（        ）

A．$\dfrac{\pi}6$

B．$\dfrac{\pi}4$

C．$\dfrac{\pi}3$

D．$\dfrac{\pi}2$

答案    B．

解析    设 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ 的夹角为 $\theta$，考虑到 $\boldsymbol b=\boldsymbol e_1-(-\lambda \boldsymbol e_2)$，因此 $|\boldsymbol b|$ 的最小值为 $\boldsymbol e_1$ 的终点到 $\boldsymbol e_2$ 的基线的距离，为 $\sin\theta$．根据题意，有 $$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\geqslant \dfrac{\sqrt 2}4\iff |\boldsymbol a|^2+\boldsymbol b\cdot\left(2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right)\geqslant \dfrac{1}8\iff \boldsymbol b\cdot\left(2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right)\geqslant 0,$$ 而 $2\boldsymbol a$ 是模长为 $\dfrac{\sqrt 2}2$ 且与 $\boldsymbol b$ 夹角任意的向量．设 $\boldsymbol b$ 的起点为 $O$，终点为 $P$，$2\boldsymbol a+\boldsymbol b=\overrightarrow{OQ}$，则 $Q$ 点在以 $P$ 为圆心 $r=\dfrac{\sqrt 2}2$ 为半径的圆上运动．欲保证 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}\geqslant 0$，也即 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{OQ}$ 的夹角不超过 $\dfrac{\pi}2$，则 $|OP|$ 不小于半径 $r$，因此 $$|\boldsymbol b|\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2\implies \sin\theta\geqslant\dfrac{\sqrt 2}2\implies \theta\geqslant\dfrac{\pi}4,$$ 选项 $\boxed{B}$ 正确．