每日一题[3015]跳皮筋

平面内有四条平行线，相邻两条间距为 $1$，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是_______．

答案    $4$．

解析    如图，作 $B,D$ 在 $l_1$ 上的投影 $B_1,D_1$，设 $\angle BAB_1=\theta$，则 $\angle DAD_1=\dfrac{\pi}2-\theta$，从而矩形 $ABCD$ 的面积 $$[ABCD]=|AB|\cdot |AD|=\dfrac{2}{\sin\theta}\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{4}{\sin2\theta}\geqslant 4,$$ 等号当 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 时取得，因此所求矩形面积的最小值为 $4$．