每日一题[3009]双重最值

已知函数 $f(x)=|x+a|+|x^2+b|$，$x\in [0,1]$，设 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，若 $M(a,b)$ 的最小值为 $1$，则 $a$ 的值可以是（       ）

A．$\dfrac{1-\sqrt 3}2$

B．$0$

C．$\dfrac{\sqrt 3-1}2$

D．$1$

答案    A．

解析    函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值必然在端点或 $x=\dfrac 12$ 处取得，因此 $$M(a,b)=\max\left\{f(0),f\left(\dfrac12\right),f(1)\right\}=\max\left\{|a|+|b|,\left|a+\dfrac 12\right|+\left|b+\dfrac 14\right|,|a+1|+|b+1|\right\},$$ 考虑含参函数 $g_a(x)=\max\left\{|x|+|a|,\left|x+\dfrac14\right|+\left|a+\dfrac 12\right|,|x+1|+|a+1|\right\}$，则 $g_a(x)$ 的最小值 $$T(a)=\begin{cases} a+\dfrac 98,&a\geqslant -\dfrac 18,\\ 1,&-1\leqslant a< -\dfrac 18,\\ -a,&a<-1,\end{cases}$$ 因此只有选项 $\boxed{A}$ 正确．