每日一题[2921]对数平均

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 的图象为曲线 $C$，函数 $g(x)=\dfrac{1}{2} a x+b$ 的图象为直线 $l$．

1、当 $a=2$，$b=-3$ 时，求 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的最大值．

2、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的横坐标分别为 $x_1, x_2$，且 $x_1 \neq x_2$，求证：$\left(x_1+x_2\right) g\left(x_1+x_2\right)>2$．

解析

1、当 $a=2$，$b=-3$ 时，有

$$F(x)=\dfrac{\ln x}{x}-x+3,$$ 其导函数 $$F'(x)=\dfrac{1-\ln x-x^2}{x^2},$$ 注意到 $y=1-\ln x-x^2$ 单调递减且有零点 $x=1$，于是函数 $F(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=1$ 处取得极大值，也为最大值，为 $F(1)=2$．

2、根据题意，有

$$\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac 12ax_1+b,\quad \dfrac{\ln x_2}{x_2}=\dfrac 12ax_2+b,$$ 因此 $$\ln x_1-\ln x_2=(x_1-x_2)\left(\dfrac 12a(x_1+x_2)+b\right),$$ 根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac{1}{g(x_1+x_2)}<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 因此命题得证．