设函数 f(x)=x2+(a−2)x−alnx(a∈R).
1、若 a=1,求 f(x) 的极值.
2、讨论函数 f(x) 的单调性.
3、若 n∈N∗,证明:122+232+342⋯+n(n+1)2<ln(n+1).
解析
1、当 a=1 时,有f(x)=x2−x−lnx,其导函数f′(x)=2x+1x⋅(x−1),于是函数 f(x) 在 x=1 处取得极小值 f(1)=0,没有极大值.
2、函数 f(x) 的导函数f′(x)=(2x+a)(x−1)x,讨论分界点为 a=−2,0.
情形一 a<−2.此时 f(x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,−a2) 上单调递减,在 (−a2,+∞) 上单调递增.
情形二 a=−2.此时 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.
情形三 −2<a<0.此时函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (−a2,1) 上单调递减,在 (1,+∞) 上单调递增.
情形四 a⩾.此时函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,+\infty) 上单调递增.
3、当 n=1 时,题中不等式即 \dfrac14<\ln 2,显然成立. 当 n\geqslant 2 时,分析通项,只需要证明\dfrac{n}{(n+1)^2}\leqslant \ln\dfrac{n+1}{n},事实上,有\ln\dfrac{n+1}{n}>1-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}>\dfrac{n}{(n+1)^2},命题得证.